Un problème de géométrie qui déconcerte les scientifiques depuis 60 ans vient probablement d’être résolu par un mathématicien amateur avec une forme à 13 côtés récemment découverte.

Appelé « Le chapeau » parce qu’il ressemble vaguement à un fedora, la forme insaisissable est un « einstein » (de l’allemand « ein stein », ou « une pierre »). Cela signifie qu’il peut recouvrir complètement une surface sans jamais créer de motif répété, ce qui n’avait pas encore été réalisé avec un seul carreau.

« Je suis toujours à la recherche d’une forme intéressante, et celle-ci était plus que cela », a déclaré David Smith, son créateur et technicien d’impression à la retraite du nord de l’Angleterre, lors d’un entretien téléphonique. Peu de temps après avoir découvert la forme en novembre 2022, il a contacté un professeur de mathématiques et plus tard, avec deux autres universitaires, ils ont publié un article scientifique auto-publié à ce sujet.

« Pour être honnête, je ne suis pas vraiment passionné de mathématiques – je l’ai fait à l’école, mais je n’ai pas excellé », a déclaré Smith. C’est pourquoi j’ai impliqué ces autres gars, parce que je n’aurais jamais pu faire ça sans eux. J’ai découvert la forme, c’était un peu de la chance, mais c’était aussi ma persévérance. »

Passant de 20 426 à un

La plupart des papiers peints ou des carreaux dans le monde réel sont périodiques, ce qui signifie que vous pouvez identifier un petit groupe qui se répète constamment pour couvrir toute la surface. « Le chapeau », cependant, est une tuile apériodique, ce qui signifie qu’il peut toujours couvrir complètement une surface sans aucun espace, mais vous ne pouvez jamais identifier un groupe qui se répète périodiquement pour le faire.

Fascinés par l’idée que de tels ensembles de formes apériodiques puissent exister, les mathématiciens ont d’abord réfléchi au problème au début des années 1960, mais ils ont d’abord cru que les formes étaient impossibles. Cela s’est avéré faux, car en quelques années, un ensemble de 20 426 tuiles qui, lorsqu’elles sont utilisées ensemble, pouvaient faire le travail a été créé. Ce nombre a rapidement été réduit à un peu plus de 100, puis à six.

Dans les années 1970, les travaux du physicien britannique et lauréat du prix Nobel Roger Penrose ont encore réduit le nombre de formes de six à deux dans un système connu depuis sous le nom de pavage de Penrose. Et c’est là que les choses se sont bloquées pendant des décennies.

Smith s’est intéressé au problème en 2016, lorsqu’il a lancé un blog sur le sujet. Six ans plus tard, fin 2022, il pensait avoir battu Penrose pour trouver l’Einstein, alors il a pris contact avec Craig Kaplan, professeur à l’École d’informatique de l’Université de Waterloo au Canada.

« De mon point de vue, tout a commencé par un e-mail à l’improviste », a déclaré Kaplan lors d’un entretien téléphonique. « David savait que j’avais récemment publié un article décrivant un logiciel qui pourrait l’aider à comprendre ce qui se passait avec la tuile. »

Avec l’aide du logiciel, les deux ont réalisé qu’ils étaient sur quelque chose.

Comment fonctionne ‘Le chapeau’

Il n’y a rien d’intrinsèquement magique dans « Le chapeau », selon Kaplan.

« C’est vraiment un polygone très simple à décrire. Il n’a pas d’angles bizarres et irrationnels, c’est essentiellement quelque chose que vous obtenez en découpant des hexagones. » Pour cette raison, ajoute-t-il, il a peut-être été « découvert » dans le passé par d’autres mathématiciens créant des formes similaires, mais ils n’ont tout simplement pas pensé à vérifier ses propriétés de pavage.

La découverte a créé tout un émoi depuis sa publication fin mars. Comme le souligne Kaplan, il a inspiré rendus artistiquesdes courtepointes tricotées, des emporte-pièces, des explicateurs TikTok et même une blague dans l’un des monologues d’ouverture de Jimmy Kimmel.

« Je pense que cela pourrait ouvrir quelques portes », a déclaré Smith, « j’ai le sentiment que nous aurons une manière différente de voir comment trouver ce genre d’anomalies, si vous le souhaitez. »

La forme est accessible au public, même pour l’impression 3D, et elle ne sera pas protégée par le droit d’auteur.

« Nous n’essayons en aucun cas de le protéger », a déclaré Kaplan. « Il appartient à tout le monde, et j’espère que les gens l’utiliseront dans toutes sortes de contenus décoratifs, architecturaux et artistiques. »

Et le carrelage de la salle de bain ? « Je ne peux qu’espérer que nous verrons beaucoup de salles de bains décorées avec, mais ça va être un peu délicat », a-t-il ajouté. « L’une des raisons pour lesquelles nous utilisons des carrelages périodiques dans des endroits comme les salles de bains est que la règle pour les poser est assez simple. Avec cela, vous avez un défi différent – vous pourriez potentiellement commencer à le poser et vous faufiler dans un coin où vous avez créé un espace que vous ne pouvez pas remplir avec plus de chapeaux. »

Examen par les pairs à venir

Loin de se contenter d’avoir réécrit l’histoire des mathématiques, Smith a déjà découvert une « suite » à « Le chapeau ». Appelé « La tortue« , la nouvelle forme est aussi un einstein, mais elle est composée de 10 cerfs-volants, ou sections, au lieu de huit, et donc plus grande que » Le chapeau « .

« C’est un peu une dépendance », a avoué Smith à propos de sa quête constante de nouvelles formes.

L’article scientifique sur « Le chapeau », co-écrit avec Joseph Myers, un développeur de logiciels, et Chaim Goodman-Strauss, un mathématicien à l’Université de l’Arkansas, n’a pas encore fait l’objet d’un examen par les pairs – le processus de vérification par d’autres scientifiques qui est standard dans des publications scientifiques — mais le fera au cours des prochains mois.

« J’ai vraiment hâte de voir ce qui sortira de ce processus », a déclaré Kaplan, reconnaissant que cela pourrait signifier que les conclusions pourraient être contestées. « Je crois fermement en l’importance de l’examen par les pairs comme moyen de mener la science. Donc, jusqu’à ce que cela se produise, je conviendrais qu’il devrait y avoir des raisons de ne pas être encore certain. Mais sur la base des preuves que nous avons accumulées, il est difficile d’imaginer une façon dont nous pourrions nous tromper. »

La découverte, une fois confirmée, pourrait être importante dans d’autres domaines de recherche, selon Rafe Mazzeo, professeur au département de mathématiques de l’Université de Stanford, qui n’a pas participé à l’étude.

« Les pavages ont de nombreuses applications en physique, en chimie et au-delà, par exemple dans l’étude des cristaux », a-t-il déclaré dans un e-mail. « La découverte des pavages apériodiques, il y a maintenant de nombreuses années, a fait sensation, car leur existence était si inattendue.

« Cette nouvelle découverte est un exemple étonnamment simple. Il n’y a pas de techniques standard connues pour trouver de nouvelles tuiles apériodiques, donc cela impliquait une idée vraiment nouvelle. C’est toujours passionnant », a-t-il ajouté.

Mazzeo a déclaré qu’il était également agréable d’entendre parler d’une découverte mathématique si facile à visualiser et à expliquer : « Cela montre que les mathématiques sont toujours un sujet en pleine croissance, avec de nombreux problèmes qui n’ont pas encore été résolus. »